Равномерное прямолинейное движение

Равномерное прямолинейное движение материальной точки — это движение с постоянной скоростью . Обратите внимание, что речь идёт о постоянстве вектора скорости; это значит, что скорость неизменна как по модулю, так и по направлению.

Траекторией тела при равномерном прямолинейном движении служит прямая (или часть прямой — например, отрезок или луч). Вдоль данной прямой тело движется равномерно, то есть с постоянной по модулю скоростью.

Закон движения.

Предположим, что тело, двигаясь равномерно и прямолинейно со скоростью , переместилось за время  из точки  в точку (рис. 1). Вектор перемещения есть .

Рис. 1. Равномерное прямолинейное движение

Путь, пройденный телом, равен длине  вектора перемещения. Очевидно, что выполнено соотношение:

, (1)

где  — модуль вектора скорости.

Формула (1) справедлива для любого равномерного движения (не обязательно прямолинейного). Но в случае прямолинейного равномерного движения эта формула становится соотношением между векторами. В самом деле, поскольку векторы  и сонаправлены, формула (1) позволяет записать:
 (2)
Как обычно, движение тела рассматривается в некоторой системе отсчёта, связанной с телом отсчёта  (рис. (1); координатные оси не изображаем). Пусть  — радиус-вектор начальной точки  и  — радиус-вектор конечной точки . Тогда, очевидно,
. Подставим эту разность в формулу (2):

.

Отсюда получаем закон движения, то есть зависимость радиус-вектора тела от времени:

. (3)

Закон движения решает основную задачу механики, то есть позволяет найти зависимость координат тела от времени. Делается это просто.

Координаты точки  обозначим (). Они же являются координатами вектора . Координаты точки  (и вектора ) обозначим . Тогда векторная формула (3) приводит к трём координатным соотношениям:

 (4)

 (5)

 (6)

Формулы (4)-(6) представляют координаты тела как функции времени и потому служат решением основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения.

Интегрирование.

Ключевая формула (3), описывающая равномерное прямолинейное движение, может быть получена из несколько иных соображений. Вспомним, что производная радиус-вектора есть скорость точки:

 (7)

В случае равномерного прямолинейного движения имеем . Что нужно продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор ? Очевидно, функцию . Но не только: к величине  можно прибавить любой постоянный вектор  (это не изменит производную, поскольку производная константы равна нулю). Таким образом:

 (8)

Каков смысл константы ? Если , то радиус-вектор  равен своему начальному значению . Поэтому, полагая  в формуле (8), получим:

.

Итак, вектор  есть начальное значение радиус-вектора, и теперь из (8) мы снова приходим к формуле (3):

.

Мы, таким образом, проинтегрировали равенство (7) при условии, что . Интегрирование — это операция, обратная дифференцированию. Интегрировать в физике приходится на каждом шагу, так что привыкайте :-)