Равномерное движение по окружности - это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса $r$ . Скорость точки постоянна по модулю и равна $v$ . Скорость $v$ называется линейной скоростью точки.

Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода $T$ имеем очевидную формулу:

$T=\frac{\displaystyle 2\pi r}{\displaystyle v}$ . (1)

Частота обращения — это величина, обратная периоду:

$\nu =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle T}$ .

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, $T=0,1 c$ . Это означает, что за время $0,1 c$ точка совершает один полный
оборот. Частота при этом получается равна: $\nu = 1/0,1 = 10$ об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

Угловая скорость.

Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1).

Рис. 1. Равномерное движение по окружности

Пусть $M_{0}$ — начальное положение точки; иными словами, при $t = 0$ точка имела координаты $(r, 0)$ . Пусть за время $t$ точка повернулась на угол $\varphi$ и заняла положение $M$ .

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

$\omega =\frac{\displaystyle \varphi }{\displaystyle t}$ . (2)

Угол $\varphi$ , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол $2\pi$ . Поэтому

$\omega =\frac{\displaystyle 2\pi }{\displaystyle t}$ . (3)

Сопоставляя формулы (1) и (3), получаем связь линейной и угловой скоростей:

$v= \omega r$ . (4)

Закон движения.

Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1, что

$x=r cos \varphi, y=r sin \varphi$ .

Но из формулы (2) имеем: $\varphi= \omega t$ . Следовательно,

$x=r cos \omega t, y=r sin \omega t$ . (5)

Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

Центростремительное ускорение.

Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5):

$v_{\displaystyle x}=\dot{x}=-\omega r sin \omega t, v_{\displaystyle y}=\dot{y}=\omega r cos\omega t,$

$a_{x}=\dot{v_{x}}=-\omega ^{2}rcos\omega t, a_{y}=\dot{v}y=-\omega ^{2}rsin\omega t.$

С учётом формул (5) имеем:

$a_{x}=-\omega^{2}x, a_{y}=-\omega^{2}y.$ (6)

Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

$\vec{a}=-\omega^{2}\vec{r},$ (7)

где $\vec{r}$ — радиус-вектор вращающейся точки.

Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

$a=\omega^{2}r.$ (8)